Gaston Julia Fractals Forex

) Função função de linkback (url) função win0 (que, título, h, v, sb, rs, bagunça) screen. height-80) puw window. open (, win2, toolbar0, status0, scrollbarssb, location0, resizablers, menubar1, screenx10 Gaston Maurice Julia Nasceu em: 3 de fevereiro de 1893 em Sidi bel Abbegraves, Argélia Morreu em: 19 março 1978 em Paris, França Clique na imagem acima para enviar um e-mail para: Veja cinco fotos maiores Os pais de Gaston Julia eram Deloregraves Delavent e Joseph Julia. Duas gerações antes, a família tinha deixado os Pirinéus espanhóis para se estabelecer na Argélia depois que os franceses colonizaram a área. Joseph Julia, que era mecânico, estava trabalhando em Sidi-bel-Abbegraves quando seu filho nasceu. Gastão se interessou pela matemática e pela música quando era jovem. Ele entrou na escola quando ele tinha cinco anos de idade, e foi ensinado pela Irmã Theacuteoduline. Ela deu ao jovem Gaston certos princípios que ele seguiu ao longo de sua vida, em particular para sempre visam ser top em tudo o que ele fez. Ela também encorajou a mãe de Gastão a fornecer apoio financeiro para permitir que seu filho tivesse uma boa escolaridade, algo que era muito difícil de conseguir, dado que a família era muito pobre. Gaston estudou com os Fregraveres des Eacutecoles Chreacutetiennes (Irmãos das Escolas Cristãs) a partir dos sete anos de idade. Suas habilidades notáveis ​​foram rapidamente descobertas, e seus professores incentivaram os pais de Gaston a tentarem obter uma bolsa de estudos para permitir que ele estudasse na escola. Em 1901, quando Gastão tinha oito anos, a família mudou-se para Oran, cidade na costa mediterrânea, no noroeste da Argélia, a 70 km ao norte de Sidi-bel-Abbegraves. Lá Gastons pai ganhou sua vida reparando máquinas agrícolas. Gaston entrou no Lyceacutee em Oran, e seus pais queriam que ele começasse seus estudos na 5a. No entanto, os professores assinalaram que os alunos daquela série já tinham estudado alemão por um ano enquanto Gaston não tinha conhecimento da língua. No entanto, Gaston pediu que eles lhe dão um mês na classe para provar que ele poderia pegar. Aprendendo por conta própria a partir de livros, ele logo alcançou e foi permitido permanecer nesta classe. No final de um ano ele era o melhor aluno em alemão, bem como em todos os outros assuntos que ele estudou. Graduou-se com distinção nos exames de bacharelado em ciências, línguas modernas, filosofia e matemática. Julia ganhou uma bolsa que o permitiu ir a Paris e passar o ano 1910-11 no Lyceacutee Janson-de-Sailly onde tomou classes em matemática mais elevada. Apesar de suas excelentes habilidades, Julia não achava a vida fácil. Primeiro, ele ainda era jovem e tinha deixado o país familiar em que ele foi criado para a vida muito diferente na França. Segundo, ele contraiu febre tifóide antes mesmo de começar seus estudos e foi levado para o hospital. Era novembro de 1910 antes que ele estivesse bem o bastante para embarcar em um curso que normalmente levava dois anos, mas que ele tinha que completar nos oito meses restantes. Apesar dessas dificuldades, ele ainda era capaz de atingir um padrão mais alto do que qualquer outro aluno. De alguma forma, ele também foi capaz de continuar seu interesse pela música, tocando com um violino que a mãe lhe dera, e foi durante esse tempo que ele se apaixonou pela música de Bach, Schubert e Schumann. Ao longo de sua vida, estes continuaram a ser seus compositores favoritos. Ele fez os exames de admissão para a Eacutecole Normale Supeacuteriore e a Eacutecole Polytechnique e foi colocado em primeiro lugar em ambos os exames de admissão. Poderia escolher qualquer uma das universidades, mas decidiu entrar na Eacutecole Normale com o argumento de que era o mais forte dos dois estabelecimentos de matemática. Entrando na Eacutecole Normale Supeacuteriore em 1911, Julia tinha acabado de completar os exames para o seu primeiro grau em matemática quando eventos políticos na Europa interromperam seus estudos. As coisas chegaram a um ponto em julho de 1914 com várias declarações de guerra, e em 3 de agosto a Alemanha declarou a guerra à França. Os acontecimentos estavam se movendo rapidamente e Julia recebeu seus papéis um dia depois. Ele treinou com o 57º Regimento de Infantaria em Libourne e logo se tornou um cabo, então sub-tenente. Ele viu ação na frente ocidental com o 144º Regimento de Infantaria quando enviado para o cume do Chemin des Dames. Kaiser Wilhelm II da Alemanha teve seu aniversário em 27 de janeiro e as tropas alemãs quiseram marcar a ocasião com sucessos. Assim, em 25 de janeiro lançaram um forte ataque às linhas francesas onde Julia e seus homens tinham acabado de chegar. O que se segue é um relato do que aconteceu a Julia naquele dia: - 25 de janeiro de 1915, mostrou desprezo completo pelo perigo. Sob um bombardeio extremamente violento, ele conseguiu, apesar de sua juventude (22 anos) dar um exemplo real a seus homens. Golpeado por uma bala no meio do rosto causando uma lesão terrível, ele não podia mais falar, mas escreveu em um bilhete que ele não seria evacuado. Ele só foi para a ambulância quando o ataque foi rechaçado. Era a primeira vez que o oficial estava sob fogo. Muitos em ambos os lados foram feridos na ação chamada o ataque da fazenda de Creute em que os alemães capturaram as posições restantes aliadas no platô. A lesão de Julias foi extremamente dolorosa e muitas operações mal sucedidas foram realizadas na tentativa de reparar o dano. Eventualmente, em 1918, resignou-se à perda de seu nariz e teve que desgastar uma correia de couro através de sua cara para o descanso de sua vida. Entre essas operações dolorosas, ele continuara com suas pesquisas matemáticas, muitas vezes em sua cama de hospital. Começou a pesquisa no Collegravege de France, começando em 1916, e em 1917 submeteu sua dissertação de doutorado Eacutetude sur les formes binaires non quadratiques agrave indeacutetermineacutees reacuteelles ou complets, ou agrave indeacuteterminemineeacutees conjugueacutees 9417. Os examinadores de sua tese foram Eacutemile Picard. Henri Lebesgue e Pierre Humbert. Com Picard como presidente do comitê examinador. Em 1918 Julia casou-se com Marianne Chausson, uma das enfermeiras que cuidaram dele enquanto ele estava no hospital. Marianne era a filha do compositor romântico Ernest Chausson, que tinha morrido em 1899 em um acidente estranho em sua bicicleta. Gaston e Marianne Julia tiveram seis filhos: Jeacuterocircme, Christophe, Jean-Baptiste, Marc, Daniel e Sylvestre. Quando apenas 25 anos de idade, Julia publicou sua obra-prima de 199 páginas Meacutemoire sur literação das funções rationelles 9417 que o fez famoso nos centros de matemática de seu dia. O belo papel, publicado no Journal de Math. Pure et Appl. 8 (1918), 47-245, dizia respeito à iteração de uma função racional f. Julia deu uma descrição precisa do conjunto J (f) daqueles z em C para os quais o n iterado f n (z) permanece limitado quando n tende ao infinito. Ele recebeu o Grande Prêmio da Academia de Ciências por este notável trabalho. Em novembro de 1919 ele foi convidado a dar a prestigiada Peccot Foundation palestras no Collegravege de France e foi nomeado como Maicirctre de Confeacuterences na Eacutecole Normale Supeacuteriore. Ao mesmo tempo, foi nomeado analista de reação na análise na Eacutecole Polytechnique, examinador na Eacutecole Navale, e professor na Sorbonne. Esta nomeação para um professorado na Sorbonne veio sem uma cadeira específica, mas em 1925 foi nomeado à cadeira das aplicações da análise à geometria na Sorbonne. Em 1931, foi nomeado para a cadeira de Cálculo Diferencial e Integral, em seguida, em 1937, foi nomeado para a cadeira de Geometria e Álgebra na Escola Politécnica quando Maurice dOcagne se aposentou. Seminários foram organizados em Berlim em 1925 para estudar Julias trabalho sobre a iteração e participantes incluídos Richard Brauer. Heinz Hopf e Kurt Reidemeister. H Cremer produziu um ensaio sobre o seu trabalho que incluiu a primeira visualização de um conjunto de Julia. Embora fosse famoso nos anos 20, seu trabalho na iteração era esquecido essencialmente até que Benoit Mandelbrot o trouxe de volta à proeminência nos 1970s com seus experimentos fundamentais do computador. No entanto, Julia foi muito ativa matematicamente sobre uma ampla gama de tópicos diferentes, que talvez seja melhor resumido por olhar brevemente para os seis volumes de suas obras coletadas que foram publicados entre 1968 e 1970 editado por Jacques Dixmier e Michel Herveacute. É claro que os volumes foram publicados antes da morte de Julias, assim ele foi capaz de escrever o prefácio para os volumes ele mesmo. Além do Prefácio, o Volume 1 contém uma lista de Julias 232 publicações de 1913 a 1965. Estas 232 publicações consistem em 157 artigos de pesquisa, 30 livros e 45 artigos sobre a história da ciência ou tópicos diversos. Volume 1 contém trabalhos sobre iteração e suas aplicações. O volume 2, em três partes, consiste em artigos sobre (i) pontos J de funções de uma variável, (ii) pontos J de funções de várias variáveis, e (iii) série de iterados. O volume 3 contém quatro partes: (i) Equações funcionais e mapeamento conformal; (ii) mapeamento Conformal; (iii) palestras gerais e (iv) trabalhos isolados em análise sobre a função implícita definida pelo desaparecimento de uma função ativa e em certas séries. O volume 4 é novamente em quatro partes: (i) cálculo funcional e equações integrais (ii) Quasianalyticity (iii) Várias técnicas de análise e (iv) Obras sobre o espaço de Hilbert. O volume 5 contém trabalhos sobre (i) Teoria dos números e (ii) Geometria, mecânica e eletricidade. O volume 6 contém escritos variados de Julias. E quanto aos 30 livros Vamos mencionar Eleacutements de geacuteomeacutetrie infiniteacutesimale 9417 (1927), Cours cineacutematique 9417 (1928), e Exercícios dAnalyse 9417 (4 vols.) (1928-38). Examinando o primeiro dos quatro volumes dos Exercícios dAnalyse. Einar Hille escreve: - Este livro é um digno descendente de uma longa linha de Exercícios Franceses sur le calcul infinito acutesimal. Tais coleções de problemas destinam-se principalmente aos alunos que se preparam para a licença ou a agreacutegation e contêm problemas do tipo definido nestes exames. Um conhecimento profundo da teoria é esperado, bem como habilidade em cálculo ea formação é direcionada para o desenvolvimento de ambas as qualidades nos alunos. O presente livro contém um pequeno número de problemas cuidadosamente escolhidos, cada problema seguido por uma ou mais soluções completas. Cerca de dois terços do primeiro volume é dedicado às aplicações da análise à geometria. Um admirável relato da teoria da série de Fourier (pp. 120-190) é eminentemente apropriado como leitura externa para alunos de pós-graduação do primeiro ano. Esta parte do livro provavelmente será encontrada a mais útil para o público matemático geral fora de França. O clássico "Principes Geacuteomeacutetriques dAnalyse 9417" (1930) foi revisto por Virgil Snyder que escreveu: - O presente volume tem por objetivo o desenvolvimento e explicação dos conceitos geométricos que são empregados em conexão com transformações racionais e particularmente lineares de uma variável complexa Z, e as consequentes transformações de funções uniformes e multiformes de z. Dois anos depois Julia produziu um segundo volume de Principes Geacuteomeacutetriques dAnalyse 9417 que foi revisto por W Seidel: - Este livro apresenta uma continuação do primeiro volume do autor tratando os aspectos da teoria moderna de funções de uma variável complexa que são deriváveis De princípios geométricos simples. Como o próprio autor assinala no prefácio do primeiro volume, o mais importante desses princípios é a correspondência conformal entre duas regiões de caráter planar ou duas superfícies de Riemann realizadas por uma função analítica. O livro serve ao excelente propósito de unificar, por meio de conceitos geométricos, vários ramos da teoria das funções que até então se espalharam na literatura. A apresentação em todo é lúcido, rigoroso e elegante. Outro texto clássico Introdução Matheacutematique aux Théories Quantiques 9417 também apareceu em dois volumes, o primeiro em 1936 e o ​​segundo em 1938. Francis Murnaghan. Analisando o primeiro volume, escreveu: - Este livro é o décimo sexto da série bem conhecida, Cahiers Scientifiques, e é o primeiro de uma série que se propõe a dar o fundamento matemático da mecânica quântica. Neste primeiro volume, as dificuldades essenciais da mecânica quântica (algumas das quais referem-se ao fato de que o espaço de Hubert não é finito dimensional) são apenas prefiguradas, a atenção sendo direcionada na análise vetorial principal em um espaço de dimensões finitas. No entanto, o tratamento é sofisticado e projetado, na medida do possível, para transportar para o caso dimensional infinito. O segundo volume foi revisto por Marshall Stone: - Os tópicos incluídos no livro são apresentados de um ponto de vista puramente matemático em um estilo claro e animado. As aplicações à teoria de matrizes e equações, que são em grande parte implícitas, em alguns dos tratamentos mais abstratos, são elaboradas aqui com uma riqueza de detalhes que os torna acessível ao aluno. A abordagem dos autores à teoria moderna dos operadores é, obviamente, cautelosa, presumivelmente por causa de seu desejo de manter o leitor em terreno que deve parecer tão familiar quanto possível em cada estágio. Outros livros de Julia incluem Lespace hilbertien 9417 (1949) e Eleacutements dalgegravebre 9417 (1959). Julia recebeu muitas honras por suas destacadas contribuições matemáticas. Ele foi eleito para a Academia de Ciências em 5 de março de 1934, preenchendo o lugar deixado vago pela morte de Painleveacute no ano anterior. Ele foi eleito Presidente da Academia em 1950. Ele também foi eleito para a Academia Upsal na Suécia, a Pontifícia Academia de Roma e muitas outras Academias Europeias. Foi também presidente da Sociedade Matemática Francesa. Em 1950, ele foi nomeado oficial da Leona dHonneur. Artigo: JJ OConnor e EF Robertson Entendendo conjuntos de Julia e Mandelbrot Julia set fractals são normalmente gerados pela inicialização de um número complexo zx yi Onde i 2 -1 e x e y são coordenadas de pixel de imagem na gama de cerca de -2 a 2. Em seguida, z é actualizado repetidamente utilizando: zz 2 c em que c é outro número complexo que dá um conjunto de Julia específico. Após inúmeras iterações, se a magnitude de z for menor que 2, dizemos que o pixel está no conjunto de Julia e colora-o de acordo. Executar este cálculo para toda uma grade de pixels dá uma imagem fractal. Dobrando um círculo em um conjunto de Julia Este processo pode ser melhor entendido visualmente, transformando repetidamente uma forma usando a equação inversa z sqrt (z - c). A raiz quadrada de um número complexo divide seu ângulo e suas raízes quadradas em sua magnitude. Reduzir para metade o ângulo de uma forma é como desmoronar um círculo completo em um meio círculo, como se um ventilador de 360deg fosse dobrado até a metade em um ventilador de 180deg. A outra metade é preenchida da mesma forma para fazer uma duplicata, por isso é mais como dobrar um ventilador de 720deg com duas cópias sobrepostas da forma em um ventilador de 360deg. (Matematicamente, essas duas metades são os resultados positivos e negativos da função da raiz quadrada.) Quando nós raiz quadrada a magnitude causa contração em direção ao raio de 1, e expansão na origem. Aqui está uma iteração desta transformação aplicada passo a passo a um círculo de raio 2 com uma grade polar desenhada sobre ele. Para este exemplo c .274 - .008i. Quaternion Julia Fractals Para mais detalhes sobre matemática quaternion (como adicionar e múltiplo) veja a referência dada no cabeçalho acima. Para gerar uma fractal quaternion uma função é iterada z n1 f (z n) e se ele tende para o infinito, então ele está fora do conjunto Julia, se ele está limitado então está dentro do conjunto. As funções não lineares são, de longe, as mais interessantes, no que se segue usamos a função não linear mais simples z n1 z n 2 c onde c e z são ambos quaternions. Z 0 é o ponto no espaço quaternion sendo considerado e c é uma constante que identifica o quaternion particular. Outra função que é freqüentemente usada é uma cúbica, ou seja z n1 z n 3 c. Tal como acontece com os fractais Julia tradicionais 2D que estão ligados ou não dependendo da constante c, o mesmo se aplica aos conjuntos Julia de quaternão. Alguns exemplos da gama de formas de conjunto Julia é dada na coluna à direita. Os conjuntos desconectados não são representados porque são difíceis de visualizar em 2D, eles realmente requerem um display estereoscópico 3D e / ou sistema de projeção. As imagens criadas aqui foram renderizadas usando software personalizado distribuído em N máquinas separadas. O objetivo era criar conjuntos de quaternion interativos, no momento da escrita 16 máquinas poderiam render um conjunto típico em cerca de 1 frame a cada 2 segundos. A questão fundamental é se a série escapa ou não. Isso nem sempre pode ser determinado sem gerar a série para um comprimento infinito, algo indesejável na prática. Existem dois critérios que, se forem atendidos, permitem que se tome uma decisão em um tempo finito. O primeiro é supor que se o módulo (comprimento) de um termo na série for maior que algum valor, então a série escapará. Este é tipicamente tomado como sendo 4. Outro critério é limitar o número de iterações e se a série hasnt escapou por então, então o ponto é considerado para estar dentro do conjunto. Esse número máximo de iterações é freqüentemente tão baixo quanto 50, quanto maior for o tempo que o fractal leva para criar, mas mais preciso ele é. Outra aproximação é a precisão na qual o espaço de quaternão 4D é amostrado. Uma abordagem consiste em relacionar a resolução de pixel da imagem com o espaço de quaternão e amostra uma ou duas vezes por pixel. Demasiado grosseira uma amostragem corre o risco de faltar partes do fractal, uma amostragem muito fina resulta em um tempo de computação muito longo. Uma vez que estes são objetos de fractal existem boas razões para prová-los muito finamente, isso levanta questões interessantes quando se tenta a renderização de antialias de quaternions por supersampling. Porque estes são de natureza fractal, em vez de supersampling gerando menos superfície barulhenta, pode gerar superfícies mais ruidosas, uma vez que há variação em escalas infinitamente pequenas. Uma vez que é bastante difícil de desenhar 4 objetos dimensionais é necessário um modo de renderização 4D quaternion fractals em uma tela 2D. A abordagem usada aqui é interceptar o sólido 4D com um plano, em essência isto faz com que um dos componentes de quaternão dependa dos outros três. Para obter uma sensação para a verdadeira natureza do fractal quaternion um precisa criar uma série de fatias ao longo de um eixo perpendicular ao plano fatia. Isso é o mesmo que se faz ao desenhar linhas de contorno para visualizar uma paisagem, cada contorno representa uma fatia da paisagem por um plano perpendicular ao eixo vertical. Empilhando os contornos juntos ganhamos uma apreciação da superfície. Infelizmente, no caso de um objeto 4D, precisamos empilhar objetos sólidos 3D ao longo de um 4º eixo, o que é um pouco mais difícil para nosso sistema visual 3D limitado. O seguinte mostra 6 fatias movendo o plano de corte ao longo de um dos eixos de quaternão da origem em passos de 0,1, c (-0,08,0,0, -0,8, -0,03). Quaternion Maths Se m sqrt (a 2 b 2 c 2) e v é o vetor unitário (a, b, c) / m, então a exponencial do quaternão Q é exp (Q) exp (r) cos (m), v Sin (m) Coordenadas Polares O equivalente a coordenadas polares no espaço de quaternão são: r Q cos (theta1) a Q sin (theta1) cos (theta2) b Q sin (theta1) sin (theta2) cos (theta3) ) Sen (theta2) sen (theta3) theta1 é conhecida como a amplitude do quaternion, theta2 e theta3 são a latitude (ou co-latitude) e longitude respectivamente. O ponto representativo de um quaternion é o vetor normalizado (a, b, c), ou seja, onde (a, b, c) intercepta a esfera unitária centrada na origem. Rotação de um vetor sobre outro vetor Para girar um vetor 3D p por ângulo theta sobre um eixo (unitário) r um forma o quaternion eo quaternion de rotação O vetor girado é os três últimos componentes do quaternion É fácil ver que a rotação em A direcção oposta (-tata) pode ser conseguida pela inversão da ordem da multiplicação. Observe também que o quaternário Q 2 é de unidade de magnitude, e precisa ser, a fim de ser uma rotação válida. Conversão de um quaternão para uma matriz Dada uma rotação de quaternão, a matriz de rotação 3x3 correspondente M é dada por